Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1

Simplifique $x^{2} (x + 1)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva.

$0 + 0 + x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.2

Simplifique somando os zeros.

$x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.4.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Etapa 1.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} + x^{2} = 4 (2 x + 3)$

Etapa 2

Simplifique $4 (2 x + 3)$ .

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} + x^{2} = 4 (2 x) + 4 \cdot 3$

Etapa 2.2

Multiplique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$x^{3} + x^{2} = 8 x + 4 \cdot 3$

Etapa 2.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x^{3} + x^{2} = 8 x + 12$

Etapa 3

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + x^{2} - 8 x = 12$

Etapa 4

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12 = 0$

Etapa 5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 5.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 5.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Etapa 5.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Etapa 5.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Etapa 5.1.3.4

Some $- 8$ e $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Etapa 5.1.3.5

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Etapa 5.1.3.6

Some $- 4$ e $16$ .

$12 - 12$

Etapa 5.1.3.7

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 5.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Etapa 5.1.5

Divida $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ por $x + 2$ .

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Etapa 5.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Etapa 5.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Etapa 5.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 5.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 5.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 5.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 5.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 5.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Etapa 5.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Etapa 5.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Etapa 5.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 6$

Etapa 5.1.6

Escreva $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (x^{2} - x - 6) = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 5.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 8

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 8.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 3$

Etapa 10