Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

As funções seno e arco seno são inversos.

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (v)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, v)$ . Portanto, $\cos (\tan^{-1} (v))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.2

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.3

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4.6.5

Simplifique.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.5

Combine $u$ e $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\sin^{-1} (u)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Portanto, $\cos (\sin^{-1} (u))$ é $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = u$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.9

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (v)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, v)$ . Portanto, $\sin (\tan^{-1} (v))$ é $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Etapa 2.1.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.11.1

Multiplique $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.11.2

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.11.3

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Etapa 2.1.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.1.11.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.1.11.6

Reescreva ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Etapa 2.1.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.1.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.1.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Etapa 2.1.11.6.5

Simplifique.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

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Etapa 2.1.12.1

Combine $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ e $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

Etapa 2.1.12.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$