Pré-cálculo Exemplos

$- 5 x^{2} + 2 y^{2} - 70 x - 8 y = 287$

Etapa 1

Complete o quadrado de $- 5 x^{2} - 70 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 5$

$b = - 70$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 70}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 70$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 70$ .

$d = \frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 35}{2 (- 5)}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 35}{- 5}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 35$ e $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Fatore $- 5$ de $- 35$ .

$d = \frac{- 5 (7)}{- 5}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Fatore $- 5$ de $- 5$ .

$d = \frac{- 5 \cdot 7}{- 5 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 5 \cdot 7}{- 5 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{7}{1}$

Etapa 1.3.2.2.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$d = 7$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 70)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 70$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4900}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$e = 0 - \frac{4900}{- 20}$

Etapa 1.4.2.1.3

Divida $4900$ por $- 20$ .

$e = 0 - - 245$

Etapa 1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 245$ .

$e = 0 + 245$

Etapa 1.4.2.2

Some $0$ e $245$ .

$e = 245$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 5 {(x + 7)}^{2} + 245$ .

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 245$

Etapa 2

Substitua $- 5 {(x + 7)}^{2} + 245$ por $- 5 x^{2} - 70 x$ na equação $- 5 x^{2} + 2 y^{2} - 70 x - 8 y = 287$ .

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 245 + 2 y^{2} - 8 y = 287$

Etapa 3

Mova $245$ para o lado direito da equação, somando $245$ aos dois lados.

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 2 y^{2} - 8 y = 287 - 245$

Etapa 4

Complete o quadrado de $2 y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (2)}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 4.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{8}$

Etapa 4.4.2.1.3

Divida $64$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 8$

Etapa 4.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$e = 0 - 8$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$e = - 8$

Etapa 4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(y - 2)}^{2} - 8$ .

$2 {(y - 2)}^{2} - 8$

Etapa 5

Substitua $2 {(y - 2)}^{2} - 8$ por $2 y^{2} - 8 y$ na equação $- 5 x^{2} + 2 y^{2} - 70 x - 8 y = 287$ .

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 2 {(y - 2)}^{2} - 8 = 287 - 245$

Etapa 6

Mova $- 8$ para o lado direito da equação, somando $8$ aos dois lados.

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 2 {(y - 2)}^{2} = 287 - 245 + 8$

Etapa 7

Simplifique $287 - 245 + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $245$ de $287$ .

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 2 {(y - 2)}^{2} = 42 + 8$

Etapa 7.2

Some $42$ e $8$ .

$- 5 {(x + 7)}^{2} + 2 {(y - 2)}^{2} = 50$

Etapa 8

Divida cada termo por $50$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{5 {(x + 7)}^{2}}{50} + \frac{2 {(y - 2)}^{2}}{50} = \frac{50}{50}$

Etapa 9

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 7)}^{2}}{10} = 1$