Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Etapa 1

Subtraia $17$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Etapa 2

Complete o quadrado de $4 x^{2} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Etapa 2.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 3

Substitua $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ por $4 x^{2} - 4 x$ na equação $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Etapa 4

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Etapa 5

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} + 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{- 4}$

Etapa 5.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{4}$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Etapa 5.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $36$ e $- 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Etapa 5.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Etapa 5.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Etapa 5.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Etapa 5.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Etapa 5.4.2.1.5

Multiplique $- - \frac{9}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Etapa 5.4.2.1.5.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Some $0$ e $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 6

Substitua $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ por $- 4 y^{2} + 6 y$ na equação $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Etapa 7

Mova $\frac{9}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{9}{4}$ aos dois lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Etapa 8

Simplifique $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Escreva $- 17$ como uma fração com denominador $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $\frac{- 17}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $\frac{- 17}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Etapa 8.1.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 8.1.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique $- 17$ por $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Etapa 8.3.2

Some $- 68$ e $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Etapa 8.3.3

Subtraia $9$ de $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Etapa 8.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Etapa 9

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Etapa 10

Divida cada termo por $\frac{73}{4}$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Etapa 11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$