Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x - 16 y - 11 = 0$

Etapa 1

Some $11$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x - 16 y = 11$

Etapa 2

Complete o quadrado de $9 x^{2} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 9}{9}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 9$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Etapa 3

Substitua $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} - 18 x$ na equação $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x - 16 y = 11$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} - 16 y = 11$

Etapa 4

Mova $- 9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 11 + 9$

Etapa 5

Complete o quadrado de $4 y^{2} - 16 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 8}{4}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 5.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

Etapa 6

Substitua $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ por $4 y^{2} - 16 y$ na equação $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x - 16 y = 11$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 11 + 9$

Etapa 7

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 11 + 9 + 16$

Etapa 8

Simplifique $11 + 9 + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $11$ e $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 20 + 16$

Etapa 8.2

Some $20$ e $16$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 36$

Etapa 9

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$