Pré-cálculo Exemplos

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $x^{2} - 16$ .

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 16$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para escrever $\frac{A}{x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.2

Para escrever $\frac{B}{x + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 4) (x + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{A}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.3.2

Multiplique $\frac{B}{x + 4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.5.4

Mova $- 4$ para a esquerda de $B$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ por $x^{2} - 16$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 2.2.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.7.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 2.2.1.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 2.2.1.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.8.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 2.2.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 2.2.1.8.1.2

Reescreva a expressão.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 2.2.1.8.2

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 2.2.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 2.2.1.8.2.2

Divida $A x + 4 A + B x - 4 B$ por $1$ .

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

Etapa 2.2.1.8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.8.3.1

Reordene $A$ e $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

Etapa 2.2.1.8.3.2

Reordene $B$ e $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

Etapa 2.2.1.8.3.3

Mova $4 A$ .

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

Etapa 3

Resolva $a$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ por $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$