Pré-cálculo Exemplos

${(x + 5)}^{2} = 24 (y + 1)$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva a equação como $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ .

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ por $24$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ por $24$ .

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Etapa 1.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24} - 1$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Reescreva ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{1}{24} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 1$

Etapa 1.2.1.1.2

Expanda $(x + 5) (x + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 1$

Etapa 1.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 1$

Etapa 1.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Etapa 1.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Etapa 1.2.1.1.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Etapa 1.2.1.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 1$

Etapa 1.2.1.1.3.2

Some $5 x$ e $5 x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 1$

Etapa 1.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{24} x^{2} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.1

Combine $\frac{1}{24}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.2.2

Fatore $2$ de $10 x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 \cdot 12} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{12} (5 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.3

Combine $5$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5}{12} x + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.4

Combine $\frac{5}{12}$ e $x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Etapa 1.2.1.1.5.5

Combine $\frac{1}{24}$ e $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1$

Etapa 1.2.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24}$

Etapa 1.2.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24}$

Etapa 1.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 1 \cdot 24}{24}$

Etapa 1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 24}{24}$

Etapa 1.2.1.5.2

Subtraia $24$ de $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24}$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{24}$

$b = \frac{5}{12}$

$c = \frac{1}{24}$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{24}$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

Etapa 1.2.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Etapa 1.2.4.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Etapa 1.2.4.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Etapa 1.2.4.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{12} (1 \cdot 12)$

Etapa 1.2.4.2.5

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.5.1

Fatore $12$ de $1 \cdot 12$ .

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Etapa 1.2.4.2.5.3

Reescreva a expressão.

$d = 5$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{{(\frac{5}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{12}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{24}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4}{24}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $24$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{1}{6}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{144} \cdot 6)$

Etapa 1.2.5.2.1.5

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.5.1

Fatore $6$ de $144$ .

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 (24)} \cdot 6)$

Etapa 1.2.5.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

Etapa 1.2.5.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{24} - \frac{25}{24}$

Etapa 1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{1 - 25}{24}$

Etapa 1.2.5.2.3

Subtraia $25$ de $1$ .

$e = \frac{- 24}{24}$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $- 24$ por $24$ .

$e = - 1$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{24}$

$h = - 5$

$k = - 1$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 1)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{24}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 6$

Etapa 5.3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 5, 5)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 5$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - 7$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 5, - 1)$

Foco: $(- 5, 5)$

Eixo de simetria: $x = - 5$

Diretriz: $y = - 7$

Etapa 10