Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 15 x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore $- 3 x$ de $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore $u^{2} - 9 u + 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 1.2.2.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.8

Fatore.

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Etapa 1.2.2.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.9

Fatore $x^{2} - 5$ de $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 1.2.2.9.1

Fatore $x^{2} - 5$ de $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.9.2

Fatore $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.9.3

Fatore $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.10

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.11

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 1.2.2.11.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.11.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.11.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.12.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.13

Reordene os termos.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.14

Fatore.

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Etapa 1.2.2.14.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.14.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 1.2.2.14.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5

Simplifique ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5.1.5

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Etapa 2.2.5.1.6

Multiplique $15$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.5.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 20$

Etapa 2.2.5.2.4

Some $0$ e $20$ .

$y = 20$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 20)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 20)$

Etapa 4