Pré-cálculo Exemplos

a = 10

$a = 10$ ,

b = 9

$b = 9$ ,

A = 30 °

$A = 30 °$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar

B

$B$ .

\frac{\sin (B)}{9} = \frac{\sin (30 °)}{10}

$\frac{\sin (B)}{9} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 3

Resolva a equação para

B

$B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por

9

$9$ .

9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de

9

$9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}$

\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}$

\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique

9 \frac{\sin (30 °)}{10}

$9 \frac{\sin (30 °)}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de

\sin (30 °)

$\sin (30 °)$ é

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sin (B) = 9 \frac{\frac{1}{2}}{10}

$\sin (B) = 9 \frac{\frac{1}{2}}{10}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

\sin (B) = 9 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10})

$\sin (B) = 9 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10})$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ por

\frac{1}{10}

$\frac{1}{10}$ .

\sin (B) = 9 \frac{1}{2 \cdot 10}

$\sin (B) = 9 \frac{1}{2 \cdot 10}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique

2

$2$ por

10

$10$ .

\sin (B) = 9 (\frac{1}{20})

$\sin (B) = 9 (\frac{1}{20})$

\sin (B) = 9 (\frac{1}{20})

$\sin (B) = 9 (\frac{1}{20})$

Etapa 3.2.2.1.4

Combine

9

$9$ e

\frac{1}{20}

$\frac{1}{20}$ .

\sin (B) = \frac{9}{20}

$\sin (B) = \frac{9}{20}$

\sin (B) = \frac{9}{20}

$\sin (B) = \frac{9}{20}$

\sin (B) = \frac{9}{20}

$\sin (B) = \frac{9}{20}$

\sin (B) = \frac{9}{20}

$\sin (B) = \frac{9}{20}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

B

$B$ de dentro do seno.

B = \arcsin (\frac{9}{20})

$B = \arcsin (\frac{9}{20})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Avalie

\arcsin (\frac{9}{20})

$\arcsin (\frac{9}{20})$ .

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

180

$180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

B = 180 - 26.74368395

$B = 180 - 26.74368395$

Etapa 3.6

Subtraia

26.74368395

$26.74368395$ de

180

$180$ .

B = 153.25631604

$B = 153.25631604$

Etapa 3.7

A solução para a equação

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$ .

B = 26.74368395, 153.25631604

$B = 26.74368395, 153.25631604$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é

180

$180$ graus.

30 ° + C + 26.74368395 = 180

$30 ° + C + 26.74368395 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para

C

$C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some

30 °

$30 °$ e

26.74368395

$26.74368395$ .

C + 56.74368395 = 180

$C + 56.74368395 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm

C

$C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia

56.74368395

$56.74368395$ dos dois lados da equação.

C = 180 - 56.74368395

$C = 180 - 56.74368395$

Etapa 5.2.2

Subtraia

56.74368395

$56.74368395$ de

180

$180$ .

C = 123.25631604

$C = 123.25631604$

C = 123.25631604

$C = 123.25631604$

C = 123.25631604

$C = 123.25631604$

Etapa 6

\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar

c

$c$ .

\frac{\sin (123.25631604)}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}

$\frac{\sin (123.25631604)}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 8

Resolva a equação para

c

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie

\sin (123.25631604)

$\sin (123.25631604)$ .

\frac{0.8362257}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de

\sin (30 °)

$\sin (30 °)$ é

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{0.8362257}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{10}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{10}$

Etapa 8.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Etapa 8.1.4

Multiplique

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Multiplique

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ por

\frac{1}{10}

$\frac{1}{10}$ .

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{2 \cdot 10}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{2 \cdot 10}$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique

2

$2$ por

10

$10$ .

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}$

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}$

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

c, 20

$c, 20$

Etapa 8.2.2

Como

c, 20

$c, 20$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica

c, 20

$c, 20$ 1) e, depois, o da parte variável

c, 20

$c, 20$ .

Etapa 8.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 8.2.4

O número

1

$1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 8.2.5

Os fatores primos de

20

$20$ são

2 \cdot 2 \cdot 5

$2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

20

$20$ tem fatores de

2

$2$ e

10

$10$ .

2 \cdot 10

$2 \cdot 10$

Etapa 8.2.5.2

10

$10$ tem fatores de

2

$2$ e

5

$5$ .

2 \cdot 2 \cdot 5

$2 \cdot 2 \cdot 5$

2 \cdot 2 \cdot 5

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Etapa 8.2.6

Multiplique

2 \cdot 2 \cdot 5

$2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

4 \cdot 5

$4 \cdot 5$

Etapa 8.2.6.2

Multiplique

4

$4$ por

5

$5$ .

20

$20$

20

$20$

Etapa 8.2.7

O fator de

c^{1}

$c^{1}$ é o próprio

c

$c$ .

c^{1} = c

$c^{1} = c$

c

$c$ ocorre

1

$1$ vez.

Etapa 8.2.8

O MMC de

c^{1}

$c^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

c

$c$

Etapa 8.2.9

O MMC de

c, 20

$c, 20$ é a parte numérica

20

$20$ multiplicada pela parte variável.

20 c

$20 c$

20 c

$20 c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}$ por

20 c

$20 c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em

\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}

$\frac{0.8362257}{c} = \frac{1}{20}$ por

20 c

$20 c$ .

\frac{0.8362257}{c} (20 c) = \frac{1}{20} (20 c)

$\frac{0.8362257}{c} (20 c) = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

20 \frac{0.8362257}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)

$20 \frac{0.8362257}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique

20 \frac{0.8362257}{c}

$20 \frac{0.8362257}{c}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Combine

20

$20$ e

\frac{0.8362257}{c}

$\frac{0.8362257}{c}$ .

\frac{20 \cdot 0.8362257}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)

$\frac{20 \cdot 0.8362257}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.2.2.2

Multiplique

20

$20$ por

0.8362257

$0.8362257$ .

\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)

$\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)

$\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.2.3

Cancele o fator comum de

c

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)

$\frac{16.72451418}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)

$16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)$

16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)

$16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)$

16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)

$16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum de

20

$20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1.1

Fatore

20

$20$ de

20 c

$20 c$ .

16.72451418 = \frac{1}{20} (20 (c))

$16.72451418 = \frac{1}{20} (20 (c))$

Etapa 8.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)

$16.72451418 = \frac{1}{20} (20 c)$

Etapa 8.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

16.72451418 = c

$16.72451418 = c$

16.72451418 = c

$16.72451418 = c$

16.72451418 = c

$16.72451418 = c$

16.72451418 = c

$16.72451418 = c$

Etapa 8.4

Reescreva a equação como

c = 16.72451418

$c = 16.72451418$ .

c = 16.72451418

$c = 16.72451418$

c = 16.72451418

$c = 16.72451418$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

A = 30 °

$A = 30 °$

B = 26.74368395

$B = 26.74368395$

C = 123.25631604

$C = 123.25631604$

a = 10

$a = 10$

b = 9

$b = 9$

c = 16.72451418

$c = 16.72451418$