Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} - x^{2} - x + 1$

Etapa 1

Defina $x^{3} - x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - x^{2}) - x + 1 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 1) - (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

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Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.5

Combine expoentes.

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Etapa 2.1.5.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = 1$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 3