Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 6 x + 4 y + 5 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 x + 4 y + 5 = - x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$4 y + 5 = - x^{2} - 6 x$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$4 y = - x^{2} - 6 x - 5$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $4$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{(3) x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = - \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 1.2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{9}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{9}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Reescreva $- 1 \cdot \frac{9}{4}$ como $- \frac{9}{4}$ .

$e = - \frac{5}{4} - - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Multiplique $- - \frac{9}{4}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{5}{4} + 1 (\frac{9}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{5}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 5 + 9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $- 5$ e $9$ .

$e = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $4$ por $4$ .

$e = 1$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} + 1$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = 1$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, 0)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 3$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 2$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 3, 0)$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = 2$

Etapa 10