Pré-cálculo Exemplos

$(\sqrt{125}, \sqrt{20})$ , $(7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 1

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 1.1

Fatore $25$ de $125$ .

$(\sqrt{25 (5)}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(\sqrt{5^{2} \cdot 5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 2

Elimine os termos abaixo do radical.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 3

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 3.1

Fatore $4$ de $20$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{4 (5)}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{2^{2} \cdot 5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 4

Elimine os termos abaixo do radical.

$(5 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Etapa 5

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 6

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$\sqrt{{(7 - 5 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva ${(7 - 5 \sqrt{5})}^{2}$ como $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ .

$\sqrt{(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.2

Expanda $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{7 (7 - 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 5$ por $7$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $- 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Etapa 7.3.1.4.1

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5} \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 7.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.6

Multiplique $25$ por $5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 125 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.2

Some $49$ e $125$ .

$\sqrt{174 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.3.3

Subtraia $35 \sqrt{5}$ de $- 35 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 7.4

Subtraia $2 \sqrt{5}$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0^{2}}$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0}$

Etapa 7.5.2

Some $174 - 70 \sqrt{5}$ e $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Forma decimal:

$4.18033988 \dots$

Etapa 9