Pré-cálculo Exemplos

${(3 x + y^{2})}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(3 x + y^{2})}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $3 x$ e $b$ $y^{2}$ na expressão.

$1 {(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(3 x)}^{5}$ por $1$ .

${(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.3

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{0}$ .

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} y^{2 \cdot 0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.6

Multiplique $243$ por $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.8

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.9

Multiplique $81$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.10

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{1}$ .

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Etapa 4.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2 \cdot 1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.11

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (3^{3} x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.12

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (27 x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.13

Multiplique $27$ por $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.14

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.14.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{2 \cdot 2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.15

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (3^{2} x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.16

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (9 x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.17

Multiplique $9$ por $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{3}$ .

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Etapa 4.18.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{2 \cdot 3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.18.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.19

Simplifique.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 (3 x) {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.20

Multiplique $3$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.21

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{4}$ .

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Etapa 4.21.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{2 \cdot 4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.21.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 3^{0} x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.24

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.25

Multiplique $x^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.26

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.27

Multiplique ${(y^{2})}^{5}$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(y^{2})}^{5}$

Etapa 4.28

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{5}$ .

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Etapa 4.28.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{2 \cdot 5}$

Etapa 4.28.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{10}$