Pré-cálculo Exemplos

${(3 x + 1)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(3 x + 1)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $3 x$ e $b$ $1$ na expressão.

$1 {(3 x)}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1

Mova ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.1.2

Multiplique ${(1)}^{0}$ por $1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{0 + 1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.1.3

Some $0$ e $1$ .

$1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.2

Simplifique $1^{1} {(3 x)}^{5}$ .

${(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.4

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.5

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.7

Multiplique $81$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.8

Avalie o expoente.

$243 x^{5} + 405 x^{4} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.9

Multiplique $405$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (3^{3} x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (27 x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.12

Multiplique $27$ por $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.14

Multiplique $270$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.15

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (3^{2} x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.16

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (9 x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.17

Multiplique $9$ por $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.18

Um elevado a qualquer potência é um.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.19

Multiplique $90$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.20

Simplifique.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 (3 x) {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.21

Multiplique $3$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.22

Um elevado a qualquer potência é um.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x \cdot 1 + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.23

Multiplique $15$ por $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Etapa 4.24

Multiplique $1$ por ${(1)}^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.24.1

Mova ${(1)}^{5}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1 {(3 x)}^{0}$

Etapa 4.24.2

Multiplique ${(1)}^{5}$ por $1$ .

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Etapa 4.24.2.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{0}$

Etapa 4.24.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{5 + 1} {(3 x)}^{0}$

Etapa 4.24.3

Some $5$ e $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6} {(3 x)}^{0}$

Etapa 4.25

Simplifique $1^{6} {(3 x)}^{0}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6}$

Etapa 4.26

Um elevado a qualquer potência é um.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1$