Pré-cálculo Exemplos

$y = 3 \cos (2 x - π)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (2 x - π)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - π$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - π$ .

$3 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 1.3.6

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$- 3 \sin (2 x - π) \cdot 2$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 \sin (2 x - π)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \sin (2 x - π)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - π$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - π$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) \cdot 2$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 \cos (2 x - π)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 \sin (2 x - π) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 6 \sin (2 x - π) = 0$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 6 \sin (2 x - π) = 0$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\sin (2 x - π)$ por $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 6$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x - π = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x - π = 0$

Etapa 7

Some $π$ aos dois lados da equação.

$2 x = π$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x - π = π - 0$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$2 x - π = π$

Etapa 10.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.2.1

Some $π$ aos dois lados da equação.

$2 x = π + π$

Etapa 10.2.2

Some $π$ e $π$ .

$2 x = 2 π$

Etapa 10.3

Divida cada termo em $2 x = 2 π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.3.1

Divida cada termo em $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.3.3.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 11

A solução para a equação $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum.

$- 12 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

Etapa 13.1.2

Reescreva a expressão.

$- 12 \cos (π - π)$

Etapa 13.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$- 12 \cos (0)$

Etapa 13.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Etapa 13.4

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12$

Etapa 14

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 15.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π - π)$

Etapa 15.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (0)$

Etapa 15.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

Etapa 15.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 \cos (2 (π) - π)$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$- 12 \cos (π)$

Etapa 17.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 12 (- \cos (0))$

Etapa 17.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.4

Multiplique $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 17.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Etapa 17.4.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$12$

Etapa 18

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 3 \cos (2 (π) - π)$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$f (π) = 3 \cos (π)$

Etapa 19.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 3 (- \cos (0))$

Etapa 19.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 19.2.4

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 19.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 3 \cdot - 1$

Etapa 19.2.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (π) = - 3$

Etapa 19.2.5

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 \cos (2 x - π)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ é um máximo local

$(π, - 3)$ é um mínimo local

Etapa 21