Pré-cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 11$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 6 x^{2} + 11$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $3 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Etapa 5.1.3.2

Some $3 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 12 x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 12 x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $3 x$ de $- 12 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x - 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (0) - 12$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 12$

Etapa 10.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 11$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2} + 11$

Etapa 12.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0 + 11$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 11$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 12.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 11$

Etapa 12.2.2.2

Some $0$ e $11$ .

$f (0) = 11$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $11$ .

$y = 11$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (4) - 12$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 - 12$

Etapa 14.2

Subtraia $12$ de $24$ .

$12$

Etapa 15

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} + 11$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 64 - 6 {(4)}^{2} + 11$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 64 - 6 \cdot 16 + 11$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$f (4) = 64 - 96 + 11$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 16.2.2.1

Subtraia $96$ de $64$ .

$f (4) = - 32 + 11$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 32$ e $11$ .

$f (4) = - 21$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 21$ .

$y = - 21$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11$ .

$(0, 11)$ é um máximo local

$(4, - 21)$ é um mínimo local

Etapa 18