Pré-cálculo Exemplos

$d = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{3 π}{4}$ e $t$ .

$\frac{d}{d t} [8 \cos (\frac{3 π t}{4})]$

Etapa 1.1.2

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 \cos (\frac{3 π t}{4})$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (- \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Etapa 1.3.2

Como $\frac{3 π}{4}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{3 π t}{4}$ em relação a $t$ é $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Combine $\frac{3 π}{4}$ e $- 8$ .

$\frac{3 π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 24 π}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.3

Combine $\frac{- 24 π}{4}$ e $\sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 24$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Fatore $4$ de $- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3.4.2.4

Divida $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ por $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 6 π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ em relação a $t$ é $- 6 π \frac{d}{d t} [\sin (\frac{3 π t}{4})]$ .

$f'' (t) = - 6 π \frac{d}{d t} \sin (\frac{3 π t}{4})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (u) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{3 π}{4}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{3 π t}{4}$ em relação a $t$ é $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 6 π \cos (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{3 π}{4}$ e $- 6$ .

$f'' (t) = \frac{3 π \cdot - 6}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.3.2.3

Combine $\frac{- 18 π}{4}$ e $π$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π π}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{- 18 π^{2}}{4}$ e $\cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $- 18$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Fatore $2$ de $- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 (2)} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (t) = \frac{- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} t$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ por $- 6 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ por $- 6 π$ .

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\sin (\frac{3 π t}{4})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- 6 π}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $6$ de $0$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{- 6 π}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Fatore $6$ de $- 6 π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{6 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 \cdot 0}{6 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.3.2

Divida $0$ por $- π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 π t}{4} = 0$

Etapa 7

Defina o numerador como igual a zero.

$3 π t = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $3 π t = 0$ por $3 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $3 π t = 0$ por $3 π$ .

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Etapa 8.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{3 π}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Fatore $3$ de $0$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 π}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 (π)}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$t = \frac{3 \cdot 0}{3 π}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{0}{π}$

Etapa 8.3.2

Divida $0$ por $π$ .

$t = 0$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{3 π t}{4} = π - 0$

Etapa 10

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Simplifique $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.2.1

Fatore $3 π$ de $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique $\frac{4}{3 π} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$t = \frac{4}{3 π} π$

Etapa 10.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.2.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Etapa 10.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Etapa 10.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{4}{3}$

Etapa 11

A solução para a equação $\frac{3 π t}{4} = 0$ .

$t = 0, \frac{4}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (0)}{4})}{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Fatore $4$ de $3 π (0)$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4})}{2}$

Etapa 13.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

Etapa 13.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

Etapa 13.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π \cdot (0)}{1})}{2}$

Etapa 13.1.2.4

Divida $3 π \cdot (0)$ por $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (3 π \cdot (0))}{2}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0 π)}{2}$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0)}{2}$

Etapa 13.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot 1}{2}$

Etapa 13.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$- \frac{9 π^{2}}{2}$

Etapa 14

$t = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (0))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $0$ .

$f (0) = 8 \cos (0)$

Etapa 15.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 8 \cdot 1$

Etapa 15.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f (0) = 8$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $8$ .

$y = 8$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $t = \frac{4}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (\frac{4}{3})}{4})}{2}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3}{3} π}{4})}{2}$

Etapa 17.1.2

Combine $\frac{4 \cdot 3}{3}$ e $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3 π}{3}}{4})}{2}$

Etapa 17.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

Etapa 17.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Reduza a expressão $\frac{12 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1.1

Fatore $3$ de $12 π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

Etapa 17.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

Etapa 17.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

Etapa 17.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

Etapa 17.3.2

Divida $4 π$ por $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Etapa 17.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.4.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.4.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Etapa 17.4.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (π)}{2}$

Etapa 17.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{9 π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Etapa 17.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{9 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Etapa 17.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot - 1}{2}$

Etapa 17.4.5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- \frac{- 9 π^{2}}{2}$

Etapa 17.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{9 π^{2}}{2}$

Etapa 17.6

Multiplique $- - \frac{9 π^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{9 π^{2}}{2}$

Etapa 17.6.2

Multiplique $\frac{9 π^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{9 π^{2}}{2}$

Etapa 18

$t = \frac{4}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $t = \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{4}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (\frac{4}{3}))$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Etapa 19.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Etapa 19.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Etapa 19.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Etapa 19.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (π)$

Etapa 19.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- \cos (0))$

Etapa 19.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 19.2.5

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 19.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cdot - 1$

Etapa 19.2.5.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 8$

Etapa 19.2.6

A resposta final é $- 8$ .

$y = - 8$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (t) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$ .

$(0, 8)$ é um máximo local

$(\frac{4}{3}, - 8)$ é um mínimo local

Etapa 21