Pré-cálculo Exemplos

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log (x^{3} - 36 x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} - 36 x > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 36 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 36 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 2.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6, 6$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 224$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $81$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 81$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $224$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 < x < 0$ ou $x > 6$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Etapa 4