Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{- 2 x^{2} + 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- 2 x^{2} + 1}$ como ${(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 7.3

Mova ${(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x + 0)$

Etapa 13

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1

Some $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x)$

Etapa 13.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 13.3

Combine $\frac{- 4}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 4 x}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.4

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1

Fatore $2$ de $2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{2 ({(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$