Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x \sqrt{x - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 14

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 15

Para escrever ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 16

Combine ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Multiplique ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Mova ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.4

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.5

Divida $2$ por $2$ .

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$2 \frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$2 \frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Combine $2$ e $\frac{x + 2 (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x + 2 (x - 4))}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 2 (x - 4))}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 2 (x - 4)}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{x + 2 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$