Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sec^{3} (4 x^{2} + x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (4 x^{2} + x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (4 x^{2} + x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (4 x^{2} + x)$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x^{2} + x$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x^{2} + x$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 3

Eleve $\sec (4 x^{2} + x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sec^{1} (4 x^{2} + x) \sec^{2} (4 x^{2} + x)) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 {\sec (4 x^{2} + x)}^{1 + 2} (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 5

Some $1$ e $2$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $4$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + 1)$