Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 7$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 7$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Remova os parênteses.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Eleve $- 7$ à potência de $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 7$ à potência de $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2.3

Multiplique $7$ por $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2.4

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2.5

Multiplique $2$ por $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Etapa 4.2.6

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Etapa 4.2.7

Multiplique $14$ por $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Etapa 4.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.3.1

Some $- 16807$ e $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Etapa 4.3.2

Subtraia $686$ de $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Etapa 4.3.3

Some $- 686$ e $686$ .

$0 - 7 + 7$

Etapa 4.3.4

Subtraia $7$ de $0$ .

$- 7 + 7$

Etapa 4.3.5

Some $- 7$ e $7$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 7$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 7$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 7)$ e coloque o resultado de $(- 7)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 7)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 7)$ e coloque o resultado de $(- 14)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 7)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 7)$ e coloque o resultado de $(- 7)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Etapa 7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Etapa 8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Etapa 9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Etapa 9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 9.3

Reescreva o polinômio.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Etapa 9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $x$ de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2.6

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 11.5.3

Reescreva o polinômio.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.7

Fatore $7$ de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Etapa 11.7.1

Fatore $7$ de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.7.2

Fatore $7$ de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Etapa 11.7.3

Fatore $7$ de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Etapa 11.7.4

Fatore $7$ de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Etapa 11.7.5

Fatore $7$ de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 11.8

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 11.9

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Etapa 11.10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.10.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 11.10.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 11.10.3

Reescreva o polinômio.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 11.10.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 11.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 11.12

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 11.12.1

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 11.12.2

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Etapa 11.12.3

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 13

Defina ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 13.2

Resolva ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 13.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 13.2.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 13.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 13.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 13.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 14

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 14.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, - 7$

Etapa 16