Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + {(- 1)}^{1 + 3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$1 + {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 1 + 2 - 4 \cdot - 1 - 8$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$1 + 1 + 2 + 4 - 8$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $1$ .

$2 + 2 + 4 - 8$

Etapa 4.2.2

Some $2$ e $2$ .

$4 + 4 - 8$

Etapa 4.2.3

Some $4$ e $4$ .

$8 - 8$

Etapa 4.2.4

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$	$- 2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 2 x^{2} + (4) x - 8$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2}) + 4 x - 8$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

$(x + 1) x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 4)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{3}$ .

$- x^{2} x + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $- x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (x) - x^{2} (- 2)$ .

$- x^{2} (x - 2) + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 9.3

Fatore $x^{4} - 4 x - 8$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 9.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 9.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Etapa 9.3.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{4} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 9.3.3.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$16 - 8 - 8$

Etapa 9.3.3.4

Subtraia $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Etapa 9.3.3.5

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 9.3.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x - 8}{x - 2}$

Etapa 9.3.5

Divida $x^{4} - 4 x - 8$ por $x - 2$ .

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Etapa 9.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 9.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 9.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 9.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 9.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 9.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 9.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 9.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 9.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Etapa 9.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Etapa 9.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Etapa 9.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Etapa 9.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

Etapa 9.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 8$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Etapa 9.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Etapa 9.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 9.3.6

Escreva $x^{4} - 4 x - 8$ como um conjunto de fatores.

$- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Etapa 9.4

Fatore $x - 2$ de $- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Fatore $x - 2$ de $- x^{2} (x - 2)$ .

$(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Etapa 9.4.2

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

$(x - 2) (- x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Etapa 9.5

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} + x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Etapa 9.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Reescreva $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) ((x^{3} + x^{2}) + 4 x + 4) = 0$

Etapa 9.6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) (x^{2} (x + 1) + 4 (x + 1)) = 0$

Etapa 9.6.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Etapa 9.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 13

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 13.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 13.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 13.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 13.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 13.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 13.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 13.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 13.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 13.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1, 2 i, - 2 i$

Etapa 15