Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y - 26 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $26$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Etapa 1.3

Substitua ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ na equação $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 9 y^{2} + 18 y = 26$

Etapa 1.4

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 18 y = 26 + 1$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $9 y^{2} + 18 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{9}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y + 1)}^{2} - 9$

Etapa 1.6

Substitua $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ por $9 y^{2} + 18 y$ na equação $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} - 9 = 26 + 1$

Etapa 1.7

Mova $- 9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 26 + 1 + 9$

Etapa 1.8

Simplifique $26 + 1 + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $26$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 27 + 9$

Etapa 1.8.2

Some $27$ e $9$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 36$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 2$

$k = - 1$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, - 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $36$ .

$\sqrt{32}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 + 6, - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(5, - 1)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 - (6), - 1)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 7, - 1)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 - (4 \sqrt{2}), - 1)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}}{6}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 2^{2}}}{6}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 4}}{6}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4}}{6}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $4$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{32}}{6}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{6}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{6}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (3)}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 1, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

Excentricidade: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 10