Pré-cálculo Exemplos

$y = 2 e^{x - 2}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 2 e^{y - 2}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2 e^{y - 2} = x$ .

$2 e^{y - 2} = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 e^{y - 2} = x$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 e^{y - 2} = x$ por $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $e^{y - 2}$ por $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Expanda $\ln (e^{y - 2})$ movendo $y - 2$ para fora do logaritmo.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 2.5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ é o inverso de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Etapa 4.2.3.1.2

Divida $e^{x - 2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Etapa 4.2.3.2

Use as regras logarítmicas para mover $x - 2$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Etapa 4.2.3.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Etapa 4.2.3.4

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Etapa 4.3.3.2

Some $\ln (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ é o inverso de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$