Pré-cálculo Exemplos

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

Etapa 1

Subtraia $2 \cos^{2} (θ)$ dos dois lados da equação.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 2

Substitua $- 2 \cos^{2} (θ)$ por $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 4

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 6

Substitua $u$ por $\sin (θ)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Etapa 7.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 9

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 9.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 12

Substitua $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 13

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Etapa 14

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 14.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Etapa 14.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 14.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

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Etapa 14.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 14.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - 1$ .

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Etapa 15.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- 1)$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Etapa 15.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 15.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 15.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 15.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 15.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 15.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 15.6.3

Combine frações.

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Etapa 15.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 15.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 15.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 15.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 15.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 15.7

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$