Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ é indefinida.

$x = - 4, x = 0, x = 1$

Etapa 2

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da esquerda e $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 16)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4}$

Etapa 6.1.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4}$

Etapa 6.1.2.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x - 4)}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 6.1.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x ((x - 1) (x + 4))}$

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x - 1) (x + 4)}$

Etapa 6.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.1.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x (x - 1) (x + 4)}$

Etapa 6.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x (x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Etapa 6.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Etapa 6.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x (x + 4)) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x) (x - 4)}{x - 1}$

$\frac{x (x - 4)}{x - 1}$

Etapa 6.2

Expanda $x (x - 4)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1}$

Etapa 6.2.2

Reordene $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Etapa 6.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Etapa 6.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Etapa 6.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 4 x}{x - 1}$

Etapa 6.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	+	$3$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x + 3$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 3 - \frac{3}{x - 1}$

Etapa 6.14

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x - 3 + \frac{- 3 x^{2} - 12 x}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 3$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 3$

Etapa 8