Pré-cálculo Exemplos

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Etapa 2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Etapa 3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \frac{1}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.4

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \frac{1}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.5.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.1.5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.1.5.4

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

Etapa 4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.2

Combine os termos opostos em $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $\frac{\cos (x)}{2}$ de $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.2.2

Some $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $\sin (x) \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.5

Some $\sqrt{3} \sin (x)$ e $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.6.2

Divida $\sqrt{3} \sin (x)$ por $1$ .

$\sqrt{3} \sin (x)$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$ é uma identidade