Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} > 4 x^{2}$

Etapa 1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{4} - 4 x^{2} > 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 4 x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 3.3

Fatore.

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Etapa 3.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 3.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 5

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{4} > 4 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $256$ é maior do que o lado direito $64$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

${(- 1)}^{4} > 4 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $1$ não é maior do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

${(1)}^{4} > 4 {(1)}^{2}$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $1$ não é maior do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{4} > 4 {(4)}^{2}$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $256$ é maior do que o lado direito $64$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 2$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 13