Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

Etapa 1

Some $6 x$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

Etapa 3

Subtraia $56$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Etapa 4.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Etapa 4.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Etapa 4.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

Etapa 4.1.3.5

Some $8$ e $36$ .

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$44 + 12 - 56$

Etapa 4.1.3.7

Some $44$ e $12$ .

$56 - 56$

Etapa 4.1.3.8

Subtraia $56$ de $56$ .

$0$

Etapa 4.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

Etapa 4.1.5

Divida $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ por $x - 2$ .

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Etapa 4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

Etapa 4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Etapa 4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $11 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Etapa 4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $11 x^{2} - 22 x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Etapa 4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

Etapa 4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Etapa 4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $28 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

Etapa 4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $28 x - 56$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

Etapa 4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

Etapa 4.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 11 x + 28$

Etapa 4.1.6

Escreva $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} + 11 x + 28$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} + 11 x + 28$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $11$ .

$4, 7$

Etapa 4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 8

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 4, - 7$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 100$ é menor do que o lado direito $116$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $108$ não é menor do que o lado direito $92$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $56$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $208$ não é menor do que o lado direito $32$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 7$ ou $- 4 < x < 2$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

Etapa 14