Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Etapa 2.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $6$ por $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $25$ por $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.6

Some $0.75$ e $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $- 24$ por $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $12$ de $7$ .

$- 5 + 5$

Etapa 2.1.3.9

Some $- 5$ e $5$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Etapa 2.1.5

Divida $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $28 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $28 x^{2} - 14 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 x + 5$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Etapa 2.1.6

Escreva $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5) = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 14$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $14$ de $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva $14$ como $- 1$ mais $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5) = 0$

Etapa 2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5) = 0$

Etapa 2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - 5$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$6 {(- 8)}^{3} + 25 {(- 8)}^{2} - 24 \cdot - 8 + 5 > 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 1275$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$6 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 5 > 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.42$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0.42$ na desigualdade original.

$6 {(0.42)}^{3} + 25 {(0.42)}^{2} - 24 \cdot 0.42 + 5 > 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 0.225472$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$6 {(3)}^{3} + 25 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 5 > 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $320$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Verdadeiro

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Verdadeiro

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ ou $x > \frac{1}{2}$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 5, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 12