Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{2} - 15 x - 4 < 8 x$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da desigualdade.

$6 x^{2} - 15 x - 4 - 8 x < 0$

Etapa 1.2

Subtraia $8 x$ de $- 15 x$ .

$6 x^{2} - 23 x - 4 < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = - 23$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 23$ de $- 23 x$ .

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 23$ como $1$ mais $- 24$

$6 x^{2} + (1 - 24) x - 4 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 1 x - 24 x - 4 = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$6 x^{2} + x - 24 x - 4 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 x^{2} + x) - 24 x - 4 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (6 x + 1) - 4 (6 x + 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $6 x + 1$ .

$(6 x + 1) (x - 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$6 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5

Defina $6 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $6 x + 1$ como igual a $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $6 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $6 x = - 1$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = - 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{6}$

Etapa 6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(6 x + 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{6}, 4$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$6 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 4 < 8 (- 3)$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $95$ não é menor do que o lado direito $- 24$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{6} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{6} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$6 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 - 4 < 8 (0)$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $- 4$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$6 {(6)}^{2} - 15 \cdot 6 - 4 < 8 (6)$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $122$ não é menor do que o lado direito $48$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{6}$ Falso

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - \frac{1}{6}$ Falso

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{6} < x < 4$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{1}{6}, 4)$

Etapa 12