Pré-cálculo Exemplos

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Etapa 1

Para encontrar $\cos (θ)$ entre o eixo x e a reta entre os pontos $(0, 0)$ e $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ , desenhe o triângulo entre os três pontos $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ e $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Oposto: $\frac{7 π}{4}$

Adjacente: $\frac{3 π}{2}$

Etapa 2

Encontre a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra do produto a $3 π$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7 π}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra do produto a $7 π$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 2.5

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 2.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.7

Para escrever $\frac{9 π^{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.8.1

Multiplique $\frac{9 π^{2}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.10

Reescreva $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.10.2

Some $36 π^{2}$ e $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Etapa 2.11

Reescreva $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ como $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Etapa 2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.12.1

Reordene $85$ e $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Etapa 2.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Etapa 2.13

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.13.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 2.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Etapa 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacente}{Hipotenusa}$ portanto $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Etapa 4

Simplifique $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $π$ de $π \sqrt{85}$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Etapa 4.2.4

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Etapa 4.4

Combine $3$ e $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{85}}$ por $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Etapa 4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{85}}$ por $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Etapa 4.7.2

Eleve $\sqrt{85}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Etapa 4.7.3

Eleve $\sqrt{85}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Etapa 4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Etapa 4.7.6

Reescreva ${\sqrt{85}}^{2}$ como $85$ .

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Etapa 4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{85}$ como $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Etapa 4.7.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Etapa 5

Aproxime o resultado.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$