Pré-cálculo Exemplos

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.3

Reescreva $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Fatore $81$ de $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.3.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.5.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $5$ por $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.10

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Fatore $9$ de $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.10.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $3$ por $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.13

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $- 1$ por $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.4.1

Cancele o fator comum.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.4.2

Reescreva a expressão.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.15.5

Avalie o expoente.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.16

Multiplique $10$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.17

Fatore $i^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.18

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.19

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.20

Multiplique $- 1$ por $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Etapa 2.1.21

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.21.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Etapa 2.1.21.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Etapa 2.1.21.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Etapa 2.1.22

Multiplique $5$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Etapa 2.1.23

Fatore $i^{4}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Etapa 2.1.24

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Etapa 2.1.24.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Etapa 2.1.24.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Etapa 2.1.25

Multiplique $i$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Etapa 2.2.2

Subtraia $30 i$ de $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Etapa 2.2.3

Some $15 i$ e $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Etapa 2.2.4

Some $- 21 \sqrt{3}$ e $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Etapa 2.2.5

Reordene $16 i$ e $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 16 \sqrt{3}$ e $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra do produto a $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.1.3

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Etapa 6.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $256$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Etapa 6.3.2

Some $256$ e $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Etapa 6.3.3

Reescreva $1024$ como $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Etapa 6.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 32$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{5 π}{6}$ e $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$