Pré-cálculo Exemplos

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (a)$ e $b = \sin (a)$ .

$(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$

Etapa 2.2

Expanda $(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) (\cos (a) - \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.3

Combine os termos opostos em $\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$ .

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Etapa 2.3.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (a) (- \sin (a))$ e $\sin (a) \cos (a)$ .

$\cos (a) \cos (a) - \cos (a) \sin (a) + \cos (a) \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.3.2

Some $- \cos (a) \sin (a)$ e $\cos (a) \sin (a)$ .

$\cos (a) \cos (a) + 0 + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.3.3

Some $\cos (a) \cos (a)$ e $0$ .

$\cos (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\cos (a) \cos (a)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.4.1.2

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (a)}^{1 + 1} + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Etapa 2.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (a) - \sin (a) \sin (a)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- \sin (a) \sin (a)$ .

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Etapa 2.4.3.1

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin (a))$

Etapa 2.4.3.2

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a))$

Etapa 2.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}$

Etapa 2.4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Etapa 2.5

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 a)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$ é uma identidade