Pré-cálculo Exemplos

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

Etapa 2

Multiplique $2$ por $22.5 °$ .

$\cos (45)$

Etapa 3

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $45$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{90}{2})$

Etapa 3.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Etapa 3.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Etapa 3.4

O valor exato de $\cos (90)$ é $0$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ .

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.5.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 5

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 6

Substitua os valores reais de $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 7

Encontre $| z |$ .

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Etapa 7.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 7.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Etapa 7.5

Some $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.6

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.7

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.9.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.9.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.9.5

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.9.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.9.6.5

Avalie o expoente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 9

Como a tangente inversa de $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 10

Substitua os valores de $θ = 0$ e $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$