Pré-cálculo Exemplos

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 3

Multiplique $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 4

Multiplique $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Avalie $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Etapa 5.1.2

Avalie $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Etapa 5.1.3

Mova $0.95105651$ para a esquerda de $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Etapa 5.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Etapa 5.2.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $5$ por $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $0.95105651$ por $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Etapa 6

Expanda $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Combine $\frac{3}{10}$ e $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.1.2

Multiplique $3$ por $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.2

Divida $- 4.63525491$ por $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Combine $4.75528258$ e $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.3.2

Multiplique $4.75528258$ por $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.3.3

Combine $\frac{14.26584774}{10}$ e $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.4

Fatore $14.26584774$ de $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.5

Fatore $10$ de $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.6

Separe as frações.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.7

Divida $14.26584774$ por $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.8

Divida $i$ por $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.9

Multiplique $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.9.1

Combine $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ e $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.9.2

Multiplique $- 1.54508497$ por $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.9.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.11

Fatore $8.02849701$ de $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.12

Fatore $10$ de $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.13

Separe as frações.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.14

Divida $8.02849701$ por $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.15

Divida $i$ por $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.16

Multiplique $0.8028497$ por $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Etapa 7.1.17

Multiplique $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.17.1

Combine $4.75528258$ e $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Etapa 7.1.17.2

Multiplique $3$ por $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Etapa 7.1.17.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Etapa 7.1.17.4

Combine $\frac{24.7091731 i}{10}$ e $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Etapa 7.1.17.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Etapa 7.1.17.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Etapa 7.1.17.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Etapa 7.1.17.8

Some $1$ e $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Etapa 7.1.18

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Etapa 7.1.19

Multiplique $24.7091731$ por $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Etapa 7.1.20

Divida $- 24.7091731$ por $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Etapa 7.2

Subtraia $2.47091731$ de $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Etapa 7.3

Subtraia $0.8028497 i$ de $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Etapa 8

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 9

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 10

Substitua os valores reais de $a = - 2.9344428$ e $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Etapa 11

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Eleve $0.62373507$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Etapa 11.2

Eleve $- 2.9344428$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Etapa 11.3

Some $0.38904544$ e $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Etapa 11.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 11.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 3$

Etapa 12

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Etapa 13

Como a tangente inversa de $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Etapa 14

Substitua os valores de $θ = 2.93215314$ e $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$