Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \sqrt{2}$ e $b = - 1 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Etapa 4.3.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $2$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Etapa 4.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 2$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{- 1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{4}$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$