Pré-cálculo Exemplos

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.2

Multiplique ${(- 2)}^{3}$ por $- 2$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $4$ por $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $6$ por $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $24 (4 \cdot - 1)$ .

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Etapa 2.1.10.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $24$ por $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.11

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.12

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.13

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.14

Fatore $i^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.15

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.17

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Etapa 2.1.19

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Etapa 2.1.20

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Etapa 2.1.21

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.21.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.21.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.21.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Etapa 2.1.22

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $96$ de $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Etapa 2.2.2

Some $- 80$ e $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $64 i$ de $64 i$ .

$- 64 + 0$

Etapa 2.2.4

Some $- 64$ e $0$ .

$- 64$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 64$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 64$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Etapa 6.3

Some $0$ e $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Etapa 6.4

Reescreva $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 64$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{0}{- 64}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $π$ .

$θ = π$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = π$ e $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$