Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \frac{2 π}{3}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 π}{3}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $2 π$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 4.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Etapa 4.5

Some $0$ e $\frac{4 π^{2}}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

Etapa 4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Reescreva $4 π^{2}$ como ${(2 π)}^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.8.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

Etapa 6

Substitua os valores de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ e $| z | = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$