Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 1.1

Fatore $3$ de $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Etapa 2

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ pelo conjugado de $10 i$ para tornar o denominador real.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Etapa 3

Multiplique.

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Etapa 3.1

Combine.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique $i$ por $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1

Expanda $(10 i) (1 + 0 i)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Etapa 3.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Etapa 3.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Etapa 3.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Etapa 3.3.2.9

Multiplique $0$ por $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Etapa 3.3.2.10

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Etapa 3.3.2.11

Subtraia $0 i$ de $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $0$ por $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Etapa 4

Divida $- 20 i$ por $1$ .

$- 20 i$

Etapa 5

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 6

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 7

Substitua os valores reais de $a = - 2$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 8

Encontre $| z |$ .

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Etapa 8.1

Eleve $0$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Etapa 8.3

Some $0$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Etapa 8.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 8.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 2$

Etapa 9

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Etapa 10

Como a tangente inversa de $\frac{0}{- 2}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Etapa 11

Substitua os valores de $θ = 3.14159265$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$