Pré-cálculo Exemplos

$- 4 \sqrt{2} (1 - i)$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 \sqrt{2} \cdot 1 - 4 \sqrt{2} (- i)$

Etapa 2

Multiplique.

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Etapa 2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (- i)$

Etapa 2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 4 \sqrt{2}$ e $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Aplique a regra do produto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.3.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Etapa 6.4.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Etapa 6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Etapa 6.5.2

Some $32$ e $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Etapa 6.5.3

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 6.5.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 8$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$