Pré-cálculo Exemplos

$5 (\cos (25 °) + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Avalie $\cos (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.1.2

Avalie $\sin (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \cdot 0.42261826) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.1.3

Mova $0.42261826$ para a esquerda de $i$ .

$5 (0.90630778 + 0.42261826 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 \cdot 0.90630778 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique $5$ por $0.90630778$ .

$(4.53153893 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $0.42261826$ por $5$ .

$(4.53153893 + 2.1130913 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(4.53153893 \cdot 2 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique $4.53153893$ por $2$ .

$(9.06307787 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $2.1130913$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie $\cos (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \sin (80 °))$

Etapa 1.3.2

Avalie $\sin (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \cdot 0.98480775)$

Etapa 1.3.3

Mova $0.98480775$ para a esquerda de $i$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Etapa 2

Expanda $(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9.06307787 (0.17364817 + 0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique $9.06307787$ por $0.17364817$ .

$1.57378695 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Etapa 3.1.2

Multiplique $0.98480775$ por $9.06307787$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Etapa 3.1.3

Multiplique $0.17364817$ por $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Etapa 3.1.4

Multiplique $4.22618261 i (0.98480775 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $0.98480775$ por $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i i$

Etapa 3.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i)$

Etapa 3.1.4.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i^{1})$

Etapa 3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{1 + 1}$

Etapa 3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{2}$

Etapa 3.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 \cdot - 1$

Etapa 3.1.6

Multiplique $4.1619774$ por $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i - 4.1619774$

Etapa 3.2

Subtraia $4.1619774$ de $1.57378695$ .

$- 2.58819045 + 8.92538935 i + 0.73386891 i$

Etapa 3.3

Some $8.92538935 i$ e $0.73386891 i$ .

$- 2.58819045 + 9.65925826 i$

Etapa 4

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 5

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 6

Substitua os valores reais de $a = - 2.58819045$ e $b = 9.65925826$ .

$| z | = \sqrt{{9.65925826}^{2} + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Etapa 7

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Eleve $9.65925826$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Etapa 7.2

Eleve $- 2.58819045$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + 6.69872981}$

Etapa 7.3

Some $93.30127018$ e $6.69872981$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Etapa 7.4

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Etapa 7.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 10$

Etapa 8

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{9.65925826}{- 2.58819045})$

Etapa 9

A tangente inversa de $\frac{9.65925826}{- 2.58819045}$ é $- 1.30899693$ .

$θ = - 1.30899693$

Etapa 10

Substitua os valores de $θ = - 1.30899693$ e $| z | = 10$ .

$10 (\cos (- 1.30899693) + i \sin (- 1.30899693))$