Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{2}{x - 4}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{2}{x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{2}{x - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.5.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.5.4

Some $6$ e $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.7

Reescreva $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x - 10)$ como $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 10, 4, 2$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 9.2.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 9.2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.75$ é maior do que o lado direito $- 0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 9$ não é maior do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0.8\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $0.225$ não é maior do que o lado direito $0.25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Verdadeiro

$x > 10$ Falso

$x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Verdadeiro

$x > 10$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 2$ ou $4 < x < 10$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Etapa 14