Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4 + x}{4 - x} \geq 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{4 + x}{4 - x} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \cdot \frac{4 - x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} + \frac{- (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 + x - (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 + x - 1 \cdot 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 + x - 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 + x - 4 + 1 x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4 + x - 4 + x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{x + 0 + x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.5

Some $x$ e $0$ .

$\frac{x + x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 2.4.6

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 x}{4 - x} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x = 0$

$4 - x = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 6

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 4$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{2 x}{4 - x}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{4 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 - x = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 9.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{4 - 2}{4 - (- 2)} \geq 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{4 + 2}{4 - (2)} \geq 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{4 + 6}{4 - (6)} \geq 1$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x < 4$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[0, 4)$

Etapa 14