Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 6, - 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 3$

Etapa 7

Some $25$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 25$

Etapa 8

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Etapa 9

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Etapa 10

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 10.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 14

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

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Etapa 14.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x$ .

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Etapa 14.2.1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 25$

Etapa 14.2.2

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 14.2.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 14.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 14.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Etapa 14.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Etapa 14.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Etapa 14.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Etapa 14.2.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.4.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 14.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Etapa 14.2.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.4.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 14.2.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Etapa 14.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 14.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 14.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 14.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $1.17\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 0.72$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $\frac{5}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.75$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $2.75$ na desigualdade original.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $0.1547619$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 16.4

Teste um valor no intervalo $3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.4.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 16.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 16.4.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{051282}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 16.5

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 16.5.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Etapa 16.5.3

O lado esquerdo $0.\overline{043290}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 16.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ ou $3 \leq x \leq 6$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Etapa 19