Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 49 = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 2

Some $49$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 49$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{49}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{49}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 7$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7, - 7$

Etapa 6

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 7, - 7$

$x = 9$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 7, - 7, 9$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 9 = 0$

Etapa 9.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 10)}^{2} - 49}{(- 10) - 9} \leq 0$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 2.68421052$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 49}{(0) - 9} \leq 0$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $5.\overline{4}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $7 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $7 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{{(8)}^{2} - 49}{(8) - 9} \leq 0$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{{(12)}^{2} - 49}{(12) - 9} \leq 0$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $31.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 7$ ou $7 \leq x < 9$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 7] \cup [7, 9)$

Etapa 14