Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} \geq 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} + \frac{- (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - 7 - (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 7 - (3 x) - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x - 7 - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.4.5

Subtraia $2$ de $- 7$ .

$\frac{- x - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.6

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 9}{3 x + 2} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 9 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 4

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 6

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 9$

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = - 9, - \frac{2}{3}$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x + 9}{3 x + 2}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x + 9}{3 x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x + 2 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 9$

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 12) - 7}{3 (- 12) + 2} \geq 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.9117647$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 5) - 7}{3 (- 5) + 2} \geq 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $1.\overline{307692}$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0) - 7}{3 (0) + 2} \geq 1$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 3.5$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

$x > - \frac{2}{3}$ Falso

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

$x > - \frac{2}{3}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 9 \leq x < - \frac{2}{3}$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 9, - \frac{2}{3})$

Etapa 14