Pré-cálculo Exemplos

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 6

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 7

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25$

Etapa 8

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 9

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 10

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 10.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 11

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Etapa 12

Consolide as soluções.

$x = 5, 5, - 5$

Etapa 13

Encontre o domínio de $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

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Etapa 13.1

Defina o denominador em $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 25 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25$

Etapa 13.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 13.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 13.2.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 13.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 13.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 13.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 13.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 13.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $- 21.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $0.2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < 5$ ou $x > 5$

Etapa 17

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 18