Pré-cálculo Exemplos

$- 1$ , $6 - 7 i$

Etapa 1

Raízes são pontos em que o gráfico faz intersecção com o eixo x $(y = 0)$ .

$y = 0$ na raiz

Etapa 2

A raiz em $x = - 1$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (- 1) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x + 1$

Etapa 3

A raiz em $x = 6 - 7 i$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (6 - 7 i) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - 6 + 7 i$

Etapa 4

A raiz em $x = 6 + 7 i$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (6 + 7 i) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - 6 - 7 i$

Etapa 5

Combine todos os fatores em uma única equação.

$y = (x + 1) (x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6

Multiplique todos os fatores para simplificar a equação $y = (x + 1) (x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$ .

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Etapa 6.1

Expanda $(x + 1) (x - 6 + 7 i)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = (x \cdot x + x \cdot - 6 + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot - 6 + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$y = (x^{2} - 6 \cdot x + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.1.3

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 \cdot (x i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $7 i$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.2.2

Some $- 6 x$ e $x$ .

$y = (x^{2} + 7 x i - 5 x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Etapa 6.3

Expanda $(x^{2} + 7 x i - 5 x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.4.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 6.4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.3.1

Mova $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 (x \cdot x) i + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.4

Multiplique $- 6$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.5

Multiplique $7 x i (- 7 i)$ .

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Etapa 6.4.1.5.1

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i i - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.5.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x (i i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.5.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x (i i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i^{1 + 1} - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i^{2} - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x \cdot - 1 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 49$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.8.1

Mova $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.9

Multiplique $- 6$ por $- 5$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.10

Multiplique $- 7$ por $- 5$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.11

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.12

Multiplique $- 7$ por $- 6$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.13

Multiplique $- 6$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 7 i (- 7 i)$

Etapa 6.4.1.14

Multiplique $7 i (- 7 i)$ .

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Etapa 6.4.1.14.1

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i i$

Etapa 6.4.1.14.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 (i i)$

Etapa 6.4.1.14.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 (i i)$

Etapa 6.4.1.14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Etapa 6.4.1.14.5

Some $1$ e $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i^{2}$

Etapa 6.4.1.15

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 \cdot - 1$

Etapa 6.4.1.16

Multiplique $- 49$ por $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Etapa 6.4.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 6.4.2.1

Combine os termos opostos em $x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{2} (- 7 i)$ e $7 x^{2} i$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 7 i x^{2} + 7 i x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Etapa 6.4.2.1.2

Some $- 7 i x^{2}$ e $7 i x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 0 - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Etapa 6.4.2.1.3

Some $x^{3} - 6 x^{2}$ e $0$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Etapa 6.4.2.1.4

Subtraia $42 i$ de $42 i$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 0 + 49$

Etapa 6.4.2.1.5

Some $x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x$ e $0$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $5 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 42 x i + 49 x + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Etapa 6.4.2.3

Some $- 42 x i$ e $35 x i$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 7 x i + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Etapa 6.4.2.4

Combine os termos opostos em $x^{3} - 11 x^{2} - 7 x i + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$ .

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Etapa 6.4.2.4.1

Reorganize os fatores nos termos $- 7 x i$ e $7 i x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 7 i x + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Etapa 6.4.2.4.2

Some $- 7 i x$ e $7 i x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 0 + 49$

Etapa 6.4.2.4.3

Some $x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36$ e $0$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 49$

Etapa 6.4.2.5

Some $49 x$ e $30 x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 79 x - 6 x + 36 + 49$

Etapa 6.4.2.6

Subtraia $6 x$ de $79 x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 73 x + 36 + 49$

Etapa 6.4.2.7

Some $36$ e $49$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 73 x + 85$

Etapa 7